Le trou noir de Laplace

« Il existe donc dans les espaces célestes, des corps obscurs aussi considérables, et peut-être en aussi grand nombre que les étoiles. Un astre lumineux de même densité que la terre, dont le diamètre serait de deux cent cinquante fois plus grand que celui du soleil, ne laisserait en vertu de son attraction, parvenir aucun de ses rayons jusqu'à nous ; il est donc possible que les plus grands corps lumineux de l'univers soient par cela même invisibles. »

Pierre Simon Laplace, Exposition du système du monde, 1796.


Un astre si massif qu'aucune particule, pas même la lumière ne peut s'en échapper, c'est la principale propriété du trou noir. La possibilité de son existence fut donc évoqué dès la fin du XVIIIe siècle, dans le cadre de la mécanique classique. À quoi ressemble un trou noir classique ? On peut justement le concevoir à partir de cette propriété essentielle.
La loi de la gravitation de Newton nous donne la force s'exerçant entre deux corps ponctuels de masses $ m_A $ et $ m_B $ séparés par une distance $ d $ :
\begin{equation} \vec{F}_{A/B}=-\mathrm{G} \dfrac{m_A m_B}{d^2} \, \vec{u}_{AB} \end{equation}

Force d'interaction gravitationnelle entre deux corps ponctuels.

Cette expression peut être étendue à deux corps sphériques à condition qu'ils soient à répartition sphérique de masse, ce qui est le cas, en première approximation de la plupart des astres. La distance $ d $ entre les deux corps est alors la distance $ r $ entre leurs centres de masse respectifs.
\begin{equation} \label{loi_newton} \vec{F}=-\mathrm{G} \dfrac{Mm}{r^2} \, \vec{u}_r \end{equation}

Force d'interaction gravitationnelle d'un corps sphérique sur un corps ponctuel.

Connaissant la force qui s'exerce sur un projectile, quelle énergie, et donc quelle vitesse faut-il lui donner pour qu'il puisse s'échapper ? On se place dans le cas idéal où aucune force de frottement n'intervient. L'énergie mécanique de notre projectile est alors constante, autrement dit sa variation est nulle.
\begin{align} \Delta E_m &= \Delta E_c +\Delta E_p \nonumber \\ &= 0 \label{var_en_meca} \end{align}
Il reste à évaluer les variations d'énergie cinétique et potentielle de notre système. Pour que notre projectile puisse échapper à l'interaction gravitationnelle qui le lie à son astre de départ il faut qu'il s'en éloigner d'une distance infini, car la portée de l'interaction gravitationnelle est infinie. Sa vitesse finale $ v_{\infty} $ est alors au minimum nulle, et c'est sa vitesse initiale $ v_0 $ qui doit être déterminée. On a alors $ E_{c_0}=\frac{1}{2} \, mv_{0}^2 $ et $ E_{c_\infty}=0 $ donc :
\begin{align} \Delta E_c & = E_{c_\infty}-E_{c_0} \nonumber \\ & = -\frac{1}{2} \, mv_{0}^2 \label{var_en_cin}\end{align}
Le calcul de la variation d'énergie potentielle fait intervenir le calcul intégral car la force d'interaction entre les deux corps ne peut être considérée comme constante sur une distance variant de $ R $, le rayon de l'astre, à l'infini. Pour un déplacement infinitésimal $ \mathrm{d}\vec{l}=\mathrm{d}r \, \vec{u}_r $ suivant le rayon joignant les deux corps on trouve le travail :
\begin{equation} \delta W(\vec{F})=\vec{F} \cdot \mathrm{d}r \, \vec{u}_r \end{equation}
Puisqu'on s'éloigne de l'astre, la variation d'énergie potentielle est l'opposée du travail de la force de gravitation.
\begin{align} \displaystyle \Delta E_p & =-W_{R\rightarrow \infty}(\vec{F}) \nonumber \\ \label{var_en_pot1} & =\int_{R}^{\infty} -\vec{F} \cdot \mathrm{d}r \, \vec{u}_r \end{align}
À l'aide de \eqref{loi_newton} et \eqref{var_en_pot1} on obtient la variation d'énergie potentielle :
\begin{align} \displaystyle \Delta E_p & = \int_{R}^{\infty} \mathrm{G} \dfrac{Mm}{r^2} \, \mathrm{d}r \, \vec{u}_r \cdot \vec{u}_r \nonumber \\ & = \left[ -\mathrm{G} \dfrac{Mm}{r} \right]_{R}^{\infty} \nonumber \\ & = \mathrm{G} \dfrac{Mm}{R} \label{var_en_pot2}\end{align}
À partir des variations d'énergie mécanique de \eqref{var_en_meca}, cinétique \eqref{var_en_cin} et potentielle \eqref{var_en_pot2} on établit la relation suivante :
\begin{equation*} -\dfrac{1}{2} \, mv_{0}^2+\mathrm{G} \dfrac{Mm}{R}=0 \end{equation*}
On en déduit immédiatement la vitesse de libération :
\begin{equation} v_{0}=\sqrt{\dfrac{2 \mathrm{G} M}{R}} \end{equation}
La vitesse de libération obtenue est la vitesse minimale nécessaire à un objet massif pour s'éloigner infiniment d'un astre. Si sa vitesse est inférieure, l'objet finira par retomber sur l'astre. Si sa vitesse est supérieure il pourra s'en éloigner définitivement avec une vitesse non nulle à l'infini. On voit par ailleurs que plus l'astre est massif et plus son rayon est petit, plus la vitesse de libération est grande.
La question qui se pose alors est de savoir si cette vitesse de libération peut atteindre celle de la lumière. Dans l'expression précédente rien ne semble s'y opposer. Un astre est donc un trou noir à la condition suivante :
\begin{equation*} \sqrt{\dfrac{2 \mathrm{G} M}{R}} \geq c \end{equation*}
On obtient alors une valeur limite du rapport $ M/R $ :
\begin{equation*} \dfrac{M}{R} \geq \dfrac{\mathrm{c^2}}{2\mathrm{G}} \end{equation*}
Le paramètre critique qui fait d'un astre un trou noir n'est donc pas sa densité (qui serait proportionnelle à $ M/R^3 $) mais un nouveau paramètre, qui fait intervenir le rapport $ M/R $. On préfère généralement travailler avec un paramètre $ \Xi $ sans dimension, appelé compacité :
\begin{equation} \label{compacite} \Xi=\dfrac{\mathrm{G}M}{R \mathrm{c}^2} \end{equation}
La condition pour qu'un astre soit un trou noir devient alors :
\begin{equation} \Xi \geq \dfrac{1}{2} \end{equation}
À titre de comparaison on peut calculer l'ordre de grandeur de la compacité de quelques objets :

AtomeÊtre humainTerreSoleil
Compacité$ 10^{-43} $$ 10^{-25} $$ 10^{-9} $$ 10^{-6} $

Les objets célestes communs sont donc loin d'atteindre le critère de compacité. Cela vient du fait que la masse volumique ($ \propto 1/R^3 $) diverge bien plus rapidement que la compacité ($ \propto 1/R $) pour les petits rayons. Il est donc illusoire de chercher des petits trous noirs qui demanderaient des masses volumiques bien supérieures à celle d'un noyau atomique ($ \rho_{noyau} \simeq 2,3 \times 10^{14} \; \mathrm{g\cdot cm^{-3}} $).
Quel que soit le trou noir envisagé, il existe une sphère limite en deçà de laquelle la lumière ne peut s'échapper. Cette sphère est l'horizon du trou noir. Elle sépare le trou noir du reste de l'univers puisqu'aucune information ne peut nous parvenir depuis l'intérieur de cette sphère. Pour un trou noir de compacité égale à $ \frac{1}{2} $ le rayon $ R_S $ de l'horizon est égal au rayon $ R $ du trou noir. Pour un trou noir de compacité supérieur à $ \frac{1}{2} $ le rayon $ R_S $ de l'horizon est supérieur au rayon $ R $ du trou noir. Dans tous les cas, le rayon $ R_S $ de l'horizon est tel que $ \Xi = \frac{1}{2} $ soit :
\begin{equation} \label{r_s} R_S = \dfrac{2GM}{\mathrm{c}^2} \end{equation}

Par la suite on se placera dans le cas limite où $ \Xi = \frac{1}{2} $ (ou $ R=R_S $).


Pour évaluer le rayon et la masse d'un trou noir, il est nécessaire de fixer un autre paramètre, la masse volumique moyenne $ \rho $ du trou noir  :
\begin{equation} \rho=\dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \end{equation}
Par élimination de $ M $ puis $ R $ dans \eqref{compacite}, on obtient le rayon et la masse d'un trou noir de masse volumique moyenne $ \rho $ :
\begin{equation} R= \sqrt{\dfrac{3}{8 \pi \rho \mathrm{G}}} \; \mathrm{c} \quad , \quad M = \sqrt{\dfrac{3}{32 \pi \rho \mathrm{G}^3}} \; \mathrm{c}^3 \end{equation}
On peut ensuite établir les caractéristiques de trous noirs de masses volumiques moyennes typiques :

Masse volumique $ (\mathrm{kg \cdot m^{-3}}) $$ \rho_\odot = 1,41 \times 10^{3} $$ \rho_{Terre} = 5,51 \times 10^{3} $$ \rho_{noyau} \simeq 2,3 \times 10^{17} $
Masse $ (/ M_\odot) $$ 1,15 \times 10^8 $$ 5,80 \times 10^7 $$ 9,0 $
Rayon $ (/ R_\odot) $$ 485 $$ 246 $$ 3,8 \times 10^{-5} (26 \; \mathrm{km}) $
Caractéristiques de trous noirs en fonction de leur masse volumique moyenne. Les masses sont exprimées en nombre de masses solaires ($ M_\odot = 1,99 \times 10^{30} \; \mathrm{kg} $) et les rayons en nombre de rayons solaires ($ R_\odot = 6,96 \times 10^8 \; \mathrm{m} $).

On retrouve bien le trou noir de Laplace, qui pour une masse volumique comparable à celle de la Terre atteint un rayon 250 fois plus élevé que celui du Soleil, mais surtout une masse 60 millions de fois plus élevée que celle du Soleil. Avec la masse volumique moyenne du soleil (presque celle de l'eau liquide) les caractéristiques sont le double des précédentes. Pour arriver à une masse plus acceptable il faut atteindre une densité inconnue à l'époque de Laplace, celle du noyau atomique. Quelle que soit le trou noir envisagé, ses dimensions hors du commun à l'échelle du système solaire amènent immédiatement la question de leur formation (où trouver 60 millions de masses solaires ?) et de leur stabilité (comment un trou noir fait-il pour résister à son propre poids ?), d'autant plus que les caractéristiques précédemment calculées sont celles de trous noirs "limites", en effet rien interdit en théorie de trouver des trous noirs de compacité supérieure c'est à dire de masse supérieure ou de rayon inférieur.
Pour ce rendre compte du problème de stabilité posé par un trou noir il faut calculer l'intensité du champ de gravitation à la surface de celui-ci :
\begin{align} g & = \dfrac{GM}{R^2} \nonumber \\ & = \dfrac{\Xi \mathrm{c}^2}{R} \nonumber \\ & = \dfrac{\mathrm{c}^2}{2R} \end{align}
La pesanteur sur l'horizon ne dépend que du rayon du trou noir, elle est d'autant plus grande que le trou noir est petit.

Rayon $ (/ R_\odot) $$ 485 $$ 246 $$ 3,8 \times 10^{-5} (26 \; \mathrm{km}) $
Pesanteur $ (/ g_{Terre}) $$ 1,4 \times 10^4 $$ 2,7 \times 10^4 $$ 1,8 \times 10^{11} $
Intensité de la pesanteur sur l'horizon d'un trou noir en fonction de son rayon. La pesanteur est exprimée en nombre de pesanteur terrestre ($ g_{Terre} = 9,8 \; \mathrm{m.s^{-2}} $).

La pesanteur à la surface des trous noirs envisagés est au minimum 10 000 fois supérieure à la pesanteur terrestre. Dans ces conditions on peut se demander quelles forces permettent au trou noir de résister à la pression générée par son propre poids et à maintenir une masse volumique moyenne presque aussi faible que celle de l'eau ou de la Terre. On pourrait imaginer des trous noirs encore plus massifs pour lesquels la pesanteur sur l'horizon serait plus acceptable, néanmoins la pression à l'intérieur du trou noir serait toujours aussi problématique.
Un autre problème, plus fondamental, est la manière dont on obtient ce résultat. La vitesse de libération est obtenue grâce à l'interaction gravitationnelle avec un objet de masse m. Qu'en est-il de cette interaction lorsque l'objet en question est la lumière, peut-on lui attribuer une masse et fait elle l'objet d'une interaction ? Lors de notre raisonnement, nous avons supposé la vitesse de la lumière non constante (nous l'avons même supposée nulle à l'infini), mais on sait depuis la fin du XIXème siècle qu'elle est la même dans tous les référentiels. La théorie de la relativité apportera une réponse à ces objections au XXème siècle. Mais pour Laplace ces objections ne sont pas des moindres et il finira par abandonner l'idée de trou noir.
Pour finir, on sait aujourd'hui qu'un trou noir "classique" n'est pas envisageable car un tel objet est éminemment relativiste. Autrement dit les corrections à apporter à l'ensemble des résultats précédents ne sont pas du tout négligeables. Cependant, il est remarquable que malgré son énorme différence conceptuelle, la théorie de la relativité générale prévoit le même critère de compacité et donne donc la même relation \eqref{r_s} entre la masse et le rayon d'un trou noir qui correspond au rayon de son horizon (ou rayon de Schwartschild) pour un trou noir statique. Mais l'analogie s'arrête là, car pour une masse donnée le rayon du trou noir est fixe, tous les trous noirs statiques ont la même compacité.

Bibliographie :
Jean-Pierre Luminet (1992). Les trous noirs. Éditions du Seuil (Points sciences).

Rédigé par Pas. - 13 novembre 2016 - - Classé dans : Non classé - Mots clés : trou noir, Laplace

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